给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

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2
3
4
5
6
7
8
输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]]
输出：11
解释：如下面简图所示：
   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

1
2
输入：triangle = [[-10]]
输出：-10

思路

贪心算法

此题很容易想到使用贪心算法求解，既从顶点开始，每一步都选择值最小的点向下前进。在示例提供的数据中这种算法可以找到最优解。但需要考虑在一些情况下，贪心算法仅能找到局部最优解，例如：

1
2
3
4
5
   2
  3 4
 8 9 1
7 6 5 2
本例使用贪心算法获取的路径为：（2-3-8-6）但实际最优解为（2-4-1-2）

动态规划

这道题目其实类似于背包问题，天然适用与动态规划，甚至于我们可以直接在现有的三角形上构建动态规划矩阵。核心思路为：

  • 计算第一行节点的最小路径和（其实就是数字本身，不用做处理）
  • 从第二行开始，根据当前行与上一行，计算到每一行各个节点的最小路径和
  • 找到最后一行中最小的路径和节点，即为这个三角形的最小路径和

例如刚才提到的三角形：

1
2
3
4
   2
  3 4
 8 9 1
7 6 5 2

计算第二行

1
2
3
4
  (2)
 (5 6)
 8 9 1
7 6 5 2

计算第三行

1
2
3
4
5
   (2)
  (5 6)
(13 14 7)
 7 6 5 2
其中，9这个节点既可从5到达，也可从6到达，我们只需计算最小从5到达的路径和即可

计算最后一行

1
2
3
4
    (2)
   (5 6)
 (13 14 7)
(20 19 12 9)

通过取最后一行的最小值，即可获取最小路径和：9

题解

思路清晰之后直接上代码：

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class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        for coloumIndex,row in enumerate(triangle):
            if coloumIndex>0:
                # 最左边元素仅可从上一行的最左边元素到达
                row[0] += triangle[coloumIndex-1][0]
                # 最右边元素仅可从上一行最右边元素到达
                row[-1] += triangle[coloumIndex-1][-1]
                # 其余元素可从上一行的2个元素到达，取最小计算路径和
                for i in range(1,coloumIndex):
                    row[i]+=min(triangle[coloumIndex-1][i-1],triangle[coloumIndex-1][i])
        # 返回最后一行中最小的路径和
        return min(triangle[-1])